从你电脑充电线上缠绕的结，到猫咪捣乱后乱成一团的毛线——绳结在日常生活中无处不在。它们也广泛存在于科学领域：DNA的环状结构、纠缠的聚合物链、旋转的水流中。而在纯数学领域，绳结更是拓扑学中许多核心问题的关键。
然而，一个最基础的问题至今仍困扰着数学家：如何区分两个不同的绳结？
单凭肉眼观察，很难判断两个复杂的绳结是否具有相同的结构。即便它们看起来完全不同，你也可能通过移动某些线段将一个变成另一个（在数学家眼中，绳结的两端总是连接在一起的，这样移动时结就不会散开）。
过去一个世纪里，数学家们开发了一套虽不完美但行之有效的工具来区分绳结。这些工具被称为“不变量”——每个不变量都测量绳结的某个特征，比如交织股线的模式，或者其周围空间的拓扑形状。如果用一个不变量测量两个绳结得到不同的结果，就能证明它们不同。但反过来不一定成立：如果得到相同的结果，两个绳结可能相同，也可能不同。
有些不变量区分能力更强，但有一个代价：越强大的不变量往往越难计算。
“大多数不变量要么非常强大但根本无法计算，要么容易计算但非常弱小，”悉尼大学的丹尼尔·图本豪尔表示。
当绳结的交叉点达到15或20个时，许多不变量就开始力不从心了——要么无法区分大量绳结，要么计算变得过于困难。多伦多大学的德罗尔·巴尔-纳坦调侃道：“如果你说‘300个交叉点’，然后再说‘计算’这个词，那基本属于科幻小说的范畴。”
但现在，巴尔-纳坦和荷兰格罗宁根大学的罗兰·范德维恩提出了一种全新的绳结不变量，它不需要数学家在两难中做选择：既强大又易于计算。 “它似乎正好处在‘令人兴奋的事情发生’的最佳位置，”图本豪尔评价道。
这种强度与速度的结合意味着数学家可以探索以前遥不可及的绳结。对于多达300个交叉点的绳结，计算这个新不变量轻而易举；巴尔-纳坦和范德维恩甚至为超过600个交叉点的绳结计算出了该不变量的某些方面。
“这一突破堪比一种新型望远镜：不仅能在熟悉的范围内提供更清晰的‘分辨率’，还能将我们的观测范围扩展10倍，”耶路撒冷希伯来大学的吉尔·卡莱说道。
对于每个绳结，这个不变量都会输出一个色彩斑斓的六边形“二维码”，像雪花一样对称且细节精致。“输出结果美得惊人，变化丰富得令人难以置信，”不列颠哥伦比亚大学的利亚姆·沃森说，“它简直像是来自另一个世界。”数学家们希望这些 intricate 的图案能引导他们发现单个绳结更深层的拓扑特征。“你会立刻开始好奇，”沃森说，“究竟是这个绳结的什么特质，产生了这样独特的图案？”
绳结的“分桶”游戏
想象一个游戏：你画一个绳结，尝试用红、黄、蓝三种颜色给每条股线涂色。规则是每种颜色至少用一次，并且在每个交叉点，要么三种颜色都出现，要么只出现一种颜色。有些绳结可以这样涂色，有些则不行——例如，三叶草结可以，而八字结就不行。无论你如何进一步缠绕一个给定的绳结，如果它最初是“三色可涂”的，那么它将始终保持这种属性。同样，不能涂色的绳结也始终不能。这使得“三色性”成为一个绳结不变量。
判断一个绳结是否三色可涂并不太难，但这个不变量区分绳结的能力不强——它只能把绳结分成两个“桶”：能涂色的和不能涂色的。如果你要区分的两个绳结恰好在同一个桶里，那就没办法了。你可以通过使用更多颜色和规则，以及测量涂色方案的数量（而不仅仅是能否涂色）来改进不变量。这些改进会产生更强大的不变量，但也更难计算。
过去一个世纪，数学家们已经提出了数百个不变量。利用这些工具，他们成功编录了超过20亿个交叉点不超过20个的绳结——考虑到既可计算又强大的不变量如此稀缺，这堪称一项壮举。在识别绳结方面，“我们100年来的绳结理论工具并不特别出色，”图本豪尔说。
部分原因在于，最强大的不变量往往源自对绳结内部深层拓扑结构的研究。但很少有绳结理论家同时精通这些理论思想以及设计易计算不变量所需的计算考量。巴尔-纳坦和范德维恩——两位既是理论家又是熟练程序员的研究者——是个例外。他们的新不变量源于深层的拓扑思想，但目前主要聚焦于创建一个快速、强大的不变量。将可计算性作为优先考量，在绳结理论中是“文化上的新事物”，沃森说。
一条“打结的高速公路”
巴尔-纳坦通往这个新不变量的道路始于20年前，当时他正试图理解“带结”——一种沿着一条自交的带子边缘行进的绳结。这项工作让他重新审视了一个特别强大的不变量：孔采维奇积分，它内部包含了许多其他绳结不变量。数学家们猜想这个不变量强大到足以区分所有绳结。
“我高兴了大约五分钟，”巴尔-纳坦说。然后他提醒自己，孔采维奇积分在实际操作中几乎无法计算。“它作为一个抽象概念存在，但你无法从中推导出任何关于现实中绳结的信息。”
巴尔-纳坦开始尝试用更易计算但仍保留其部分宝贵信息的不变量来逼近孔采维奇积分。存在一个自然的序列，其中的不变量能捕捉到孔采维奇积分越来越多的细节。但除了序列的第一个成员外，没有人知道如何高效地完整计算这些不变量。
在2015年奥胡斯大学的一次讲座上，巴尔-纳坦分发了一份描述其目标的讲义。在底部，他用大号洋红色斜体字写道：“需要帮助！” 听众中的范德维恩响应了这一号召。两人开始合作，试图弄清楚如何突破序列中的第一个不变量。
他们从第一个不变量入手：所谓的亚历山大多项式，发现于1923年。在绳结的世界里，多项式将对绳结的测量结果转换成数字和变量的幂的组合（如3x⁷+8）。一个世纪以来，数学家们提出了几十种计算亚历山大多项式的方法。巴尔-纳坦和范德维恩着手推广其中一种方法，他们最终能够用汽车交通的语言来表述它。
想象绳结是一条单向高速公路，你在某处剪开，使它有了起点和终点。再想象每对交叉点之间有一座城市。如果一辆车从高速公路起点出发，它会在从终点驶出之前经过每座城市一次。
为了构造亚历山大多项式，假设在每个交叉点，从上跨线到下跨线有一条可选的下行匝道。当汽车到达上跨线时，有一定的概率——记作x——它会选择下行匝道而非继续直行。现在，一辆车不一定恰好经过每座城市一次。假设你在迈阿密投放100辆车，询问会有多少车流经过亚特兰大。有些车可能经过亚特兰大一次，有些可能多次，有些则完全绕过它。通过亚特兰大的预期车流量可以写成x的函数，这个函数捕捉了绳股如何相互缠绕的信息。
对于每对城市，你可以构造一个交通函数。这些函数的简单组合就产生了亚历山大多项式——孔采维奇积分的第一个近似。
巴尔-纳坦和范德维恩认为，或许可以通过创建一个涉及两种汽车（以下行匝道的不同概率，比如x和y行驶）的交通场景，为序列中的第二步写出类似的公式。但经过多次尝试，他们未能找到可行的交通模型。直到有一天，他们从亚原子粒子的数学中获得了灵感。
正如粒子可以结合或分裂成其他粒子一样，巴尔-纳坦和范德维恩设想他们的两种汽车有时会结合形成第三种车辆——就像一辆被另一辆拖曳着一样。然后这两辆车会作为一个整体在高速公路上行驶。之后，它们可能再次分裂，各奔东西。同样，你可以计算从迈阿密出发的车流中有多少会经过亚特兰大，但这一次，你还要跟踪不同的车辆类型。
巴尔-纳坦和范德维恩确信他们找到了正确的模型，但他们仍然不知道如何组合所有交通函数来直接生成一个绳结不变量。然而，他们的模型确实让他们感受到了这样一个不变量应有的整体“形状”。于是他们采用了一个老办法：先写出一个具有正确形状的通用公式，然后调整其系数，使其在绳股被移动时仍保持不变。
“从某种意义上说，我们就是临时拼凑的，”范德维恩说。
结果是一个复杂的x和y多项式，这让其他研究者感到困惑。“你做了这些关于汽车、匝道和概率的复杂事情，而最终得出的结果无论你使用绳结的哪张图景都是一样的——这才是最神奇的地方，”悉尼大学的苏珊娜·丹乔说，“他们到底是怎么想出来的？”
绳结之梦
虽然多项式看起来很杂乱，但计算机可以轻松计算它，即使对于数百个交叉点的绳结也是如此。而且它非常强大：图本豪尔计算出，例如，这个不变量能唯一识别超过97%的18交叉点绳结。相比之下，琼斯多项式（编目绳结最广泛使用的不变量之一）的识别率约为42%，而亚历山大多项式仅为11%。
“我认为在可计算性和相对强度方面，没有什么能与这个不变量相提并论，”沃森说。
通过将多项式的系数绘制成一种热图，研究人员创造出了惊人的可视化图像——每个绳结都有一个华丽的六边形二维码。两个二维码不同的绳结，保证是不同的绳结。
巴尔-纳坦和范德维恩预计，这个二维码在区分绳结之外还有更多用途。在论文题为“故事、猜想与梦想”的一节中，他们提出，二维码可能有助于阐明绳结的各种拓扑特征。例如，他们认为六边形的直径将为绳结复杂度的一个度量——亏格（这对曲面研究也至关重要）提供一个下界。如果这被证明是正确的，丹乔说，“这意味着我们将更擅长计算大型绳结的亏格。”
巴尔-纳坦、范德维恩以及其他研究者都确信，这个新不变量等同于孔采维奇积分的第二个近似，数学家们称之为双环多项式，并且已经研究了数十年。“我愿拿我的房子打赌，”北卡罗来纳大学教堂山分校的列夫·罗赞斯基说，他是最早研究双环多项式的人之一。
在其传统形式下，双环多项式很难计算，但拓扑内涵丰富。因此，证明这种等价性将立即证实巴尔-纳坦和范德维恩赋予其新不变量的许多拓扑能力。即便如此，作者们仍希望最终能以一种更简单的方式解释这个新不变量。“一个基本的构造应该有一个简单的解释，”他们写道。
从某种意义上说，他们觉得自己是误打误撞闯入了故事的中段。“我们对开头和结尾相当不确定，”他们写道。
与此同时，没有什么能阻止研究人员尝试用更多的汽车和变量来构建交通模型，以期捕捉孔采维奇积分中存储的越来越多信息。“有一整个动物园般的类似东西正等着我们去发现，”范德维恩说。
本文译自：quantamagazine（编译 / 整理：olaola）
封面图片：unsplash/Buddha Elemental 3D